본 연구는 직사각형 지질막의 모멘트 유도 굽힘 거동을 예측하기 위한 물리 정보 신경망 (Physics-Informed Neural Network, PINN) 프레임워크를 제시한다. 막의 변형은 선형화된 Helfrich 형상 방정식을 이용하여 모델링되며, 이 방정식은 지정된 경계 모멘트를 받 는 지질 이중층의 평형 응답을 설명한다. 제안된 접근법에서 신경망은 라벨이 부여된 수치 데이터나 실험 데이터 없이 막의 횡방향 처 짐을 근사한다. 지배 4차 편미분방정식과 경계 모멘트 조건을 학습 손실 함수에 포함함으로써, 모델이 기저 막 역학과 일관성을 유지 하는 해를 학습할 수 있도록 하였다. 막의 가장자리를 따라 영 처짐 조건을 만족시키기 위해 경계 구속 시험 함수를 적용하였으며, 지 배 방정식에 필요한 고차 공간 미분항을 계산하기 위해 자동 미분을 사용하였다. 예측된 처짐장은 서로 다른 적용 경계 모멘트에 대해 이용 가능한 해석해와 비교하여 검증하였다. 결과는 최대 처짐 및 변형 형상 측면에서 PINN 해와 해석해가 높은 일치도를 보임을 나 타낸다. 본 모델은 직사각형 막의 대칭적 굽힘 응답을 정확하게 포착하였으며, 모멘트 강도가 증가함에 따라 처짐이 증가하는 예상 거 동을 재현하였다. 이러한 결과는 단순한 PINN 정식화가 고차 막 역학 문제를 해결하기 위한 효과적인 무격자 계산 도구로 활용될 수 있음을 보여주며, 지질막 변형 해석에서 기존 수치해석 기법에 대한 유용한 대안이 될 수 있음을 시사한다.

This paper presents a physics-informed neural network (PINN) framework for predicting the moment-induced bending behavior of a rectangular lipid membrane. Membrane deformation is modeled using the linearized Helfrich shape equation, which describes the equilibrium response of a lipid bilayer subjected to prescribed edge moments. In the proposed approach, the neural network approximates the transverse membrane deflection without requiring labeled numerical or experimental data. The governing fourth-order partial differential equation and edge moment boundary conditions are incorporated into the training loss, enabling the model to learn solutions that remain consistent with the underlying membrane mechanics. A boundary-constrained trial function is employed to satisfy the zero-deflection condition along the membrane edges, whereas automatic differentiation is used to evaluate the higher-order spatial derivatives required in the governing equation. The predicted deflection fields were validated against the available analytical solution for different applied edge moments. The results agreed closely between the PINN and analytical solutions in terms of maximum deflection and deformation profile. The model accurately captured the symmetric bending response of the rectangular membrane and reproduced the expected increase in deflection with increasing moment intensity. These findings demonstrate that a simple PINN formulation can serve as an effective mesh-free computational tool for solving high-order membrane mechanics problems and can provide a useful alternative to conventional numerical methods for analyzing lipid membrane deformation.

Abstract
1. Introduction
2. Methodology
    2.1 Problem definition
    2.2 PINN approximation of membrane deflection
    2.3 Physics residual inside the membrane domain
    2.4 Edge moment enforcement
    2.5 Loss function and training strategy
3. Results and Discussion
4. Conclusion
Acknowledgement
References
요 지

• 라나 탈랄 아흐마드 칸(동국대학교 기계로봇에너지공학과 박사과정) | Rana Talal Ahmad Khan (Ph.D. Student, Department of Mechanical, Robotics and Energy Engineering, Dongguk University, Seoul, 04620, Korea)
• 김천일(앨버타대학교 기계공학과 교수) | Chun Il Kim (Professor, Department of Mechanical Engineering, University of Alberta, Edmonton, AB, T6G 2G8, Canada)
• 김흥수(동국대학교 기계로봇에너지공학과 교수) | Heung Soo Kim (Professor, Department of Mechanical, Robotics and Energy Engineering, Dongguk University, Seoul, 04620, Korea) Corresponding author