This paper investigates the number of scatterings a photon undergoes in random walks before escaping from a medium. The number of scatterings in random walk processes is commonly approximated as τ + τ 2 in the literature, where τ is the optical thickness measured from the center of the medium. However, it is found that this formula is not accurate. In this study, analytical solutions in sphere and slab geometries are derived for both optically thin and optically thick limits, assuming isotropic scattering. These solutions are verified using Monte Carlo simulations. In the optically thick limit, the number of scatterings is found to be 0.5 τ 2 and 1.5 τ 2 in a sphere and slab, respectively. In the optically thin limit, the number of scatterings is ≈ τ in a sphere and ≈ τ (1 − γ − ln τ + τ ) in a slab, where γ ≃ 0.57722 is the Euler-Mascheroni constant. Additionally, we present approximate formulas that reasonably reproduce the simulation results well in intermediate optical depths. These results are applicable to scattering processes that exhibit forward and backward symmetry, including both isotropic and Thomson scattering.

종래의 게임에서, 널리 사용되고 있는 난수는 게임 서비스 제공자에 의하여 일방적으로 제공되기 때문에, 게 임 이용자가 제공받은 난수가 어떠한 개입이나 조작이 있었는지를 검증하는 것은 어렵다. 본 논문은 상호 참 여형 난수 발생기인 TogetheRand를 제안한다. 제안된 방법은 이더리움 블록체인 시스템 위에서 작동되는 스 마트 컨트랙트이다. 제안된 방법의 난수성을 Dieharder tests를 이용하여 테스트하였다. 제안된 방법은 많은 사람들이 난수 생성에 참여할 수 있고, 모든 입력값을 확인할 수 있으며, 블록체인 시스템으로 인하여 정상 작동 여부가 보장되기 때문에 게임 이용자와 제공자 모두가 신뢰할 수 있는 방법이다. 제안된 방법은 게임 등의 신뢰성 있는 난수가 필요한 응용 분야에서 두루 적용될 수 있을 것이다. 본 논문에서 사용된 코드는 ht tps://github.com/TyeolRik/TogetheRand 에 공개되어 있다.