본 논문은 확장된 프로젝션 기법을 사용한 위상 최적설계 방법을 다루고 있다. 다양한 형상과 길이 스케일을 가지는 프로 젝션 함수를 개발해 위상 최적설계 기법에 적용시킴으로써, 복합재료의 설계에서 형상 및 크기가 미리 주어진 보강재의 최 적 배치를 위상 최적설계를 통해 결정할 수 있음을 확인하였다. 또한 이와 같은 프로젝션 기법이 균질화법과 결합되어 체적 탄성률 또는 전단탄성률 등의 유효 재료특성을 최대화시키는 단위 구조를 설계함으로써, 주기 구조를 가지는 복합재료에서 보강재의 최적 배치를 결정하고 그 유효 재료특성값을 수치적으로 계산할 수 있음을 여러 수치 예제들을 통해서 검증하였다.

본 논문에서는 커코프 판이론과 폰-칼만 비선형 변형율-변위 관계를 이용하여 서형화된 좌굴해석을 수행하였다. 평면응력과 좌굴문제에서 영률과 두께에 관한 설계민감도식을 유도하였고, 고유치를 최대화하면서 컴플라이언스를 최소화하는 위상최적설계 기법을 정식화하였다. 좌굴해석에서의 프리스트레스를 이용하여 판 좌굴문제에 적용할 수 있는 위상최적설계 기법을 개발하였다. 폰-칼만 비선형 변형률을 사용하여 좌굴문제의 응력행렬을 구성하는데 프리스트레스가 필요하므로 면외로의 운동을 도입하였다. 위상최적설계를 위하여 정규재료밀도를 설계변수로 하고, 목적함수는 최소 컴플라이언스와 최대 고유진동수로 하였으며 제한조건은 허용되는 재료량이다. 여러 수치예제를 통하여 개발된 설계민감도 해석법은 유한차분 민감도와 비교하여 매우 정확한 값을 가지고, 위상최적설계는 물리적으로 의미있는 결과를 제공함을 확인하였다.

본 논문에서는 애조인 설계민감도(DSA)를 사용하여 평형상태의 열전도문제에서 수치적으로 얻어진 위상 최적설계를 실험적으로 검증하였다. 애조인 변수법을 이용하면 해석에서 사용되었던 행렬시스템을 애조인 문제를 풀 때 그대로 활용가능하기 때문에 설계민감도를 얻는데 필요한 계산을 매우 효율적으로 수행할 수 있다. 위상 최적설계를 위해서 설계변수는 정규화된 재료밀도 함수로 정하였다. 목적함수는 구조물의 열 컴플라이언스이고 제한조건은 허용 가능한 재료량이다. 또한 열화상카메라를 활용하여 이러한 위상 최적설계로 얻어진 수치적 결과를 부피가 동일하도록 직관적으로 설계된 디자인과 비교하여 실험적으로 검증하였다. 위상 최적설계로 얻어진 결과를 실제로 제작하기 위해 간단한 수치기법을 통해 점 정보로 변환한 후 역설계 상용프로그램을 이용하여 CAD 모델링을 수행한다. 이를 바탕으로 위상 최적설계 결과를 CNC(Computerized Numerically Controlled machine tools) 선반으로 제작하였다.

본 논문에서는 압전 수정진동자의 설계민감도 해석 및 위상 최적설계 기법을 개발하였다. 압전 수정진동자는 가해지는 전하에 의해 두께방향 전단 변형하게 되거나, 혹은 그 반대방향으로 기계 변형에 의해 전기적 신호를 검출하게 된다. 엄밀한 두께방향 전단해석을 위해 두께방향으로 고차 보간을 하는 고차 민들린(Mindlin) 판 이론을 도입하였다. 압전 수정진동자에서 수정판은 부도체이기 때문에 전기적 신호를 검출하거나 전기적 신호에 의해 수정판을 기계적으로 진동시키기 위해 수정판의 상/하 표면에 얇은 전극경을 도포한다. 비록 전극경이 매우 얇기는 하지만 그 무게와 형상에 따라 진동자의 거동이 달라지기 때문에, 설계민감도 해석 및 위상 최적설계를 위한 설계변수는 전극경의 질량 밀도와 관계된다. 따라서 위상 최적설계 문제는 두께방향 전단 변형에너지를 최대화하는 최적의 전극경 분포를 구하도록 구성한다. 또한 보다 의미있는 설계안을 얻기 위해 전극경의 재료량과 면적에 제약조건을 부여한다. 두께방향 전단 주파수(고유치)와 상응하는 모드형상(고유벡터)에 대한 설계구배는 고유벡터 확장법을 이용한 해석적 설계민감도 해석법을 통해 매우 효율적이고 정확하게 계산될 수 있다. 수치예제를 통해 제안된 해석적 설계민감도가 유한차분 설계민감도와 비교하여 매우 효율적이고 정확하게 계산됨을 확인하였다. 또한 위상 최적설계를 통해 도출된 최적 전극경 설계가 모드형상과 두께방향 전단 변형에너지를 개선시킴을 확인하였다.

레벨셋 기법과 위상민감도를 이용하여 선형 탄성 구조물에 대하여, 초기 설계형상에 의존성이 없는 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하였다. 레벨셋 기법에서는 복잡한 위상 형상변화를 쉽게 다루기 위해 초기 영역은 고정한 채 레벨셋 함수로 표현되는 암시적 이동경계로 경계를 표현한다. 해밀턴-자코비(H-J) 방정식과 수치적으로 강건한 기법인 ‘up-wind scheme’은 컴플라이언스 목적함수를 최소화시키고 허용체적 제약조건을 만족시키면서, 초기 암시적 경계를 법선 속도장에 따라 최적의 형상으로 이끌어 낸다. 점근적인 정규화 개념에 근거하여, 구멍의 반지름을 0으로 접근시켜 형상 미분의 극한을 취한 위상민감도를 고려하였다. 최적조건으로부터 유도된 라그란지안의 감소 방향을 이용하여 H-J 방정식을 갱신하기 위한 속도장을 결정하였다. 개발한 방법에서는 위상민감도로부터 얻어지는 지표를 이용하여 구멍을 언제든지 어디에서나 생성가능하기 때문에 초기 구멍이 최적 형상을 얻기 위해 요구되지 않는다는 사실을 확인하였다. 또한 효율적인 최적화 과정을 위해서는 구멍 생성을 위한 조정변수의 적절한 선택이 중요함을 확인하였다.

레벨셋 기법과 무요소법을 결합한 위상 및 형상 최적설계 기법을 개발하여 선형 탄성문제에 적용하였다. 설계민감도는 애드조인트법을 사용하여 효율적으로 구하였다. 해밀턴-자코비 방정식을 업-윈드 기법을 이용하여 수치적으로 풀었으며, 구조물의 경계는 레벨셋 함수를 이용하여 암시적으로 표현하였다. 구조물의 응답과 설계민감도를 얻기 위하여 암시적 함수를 사용하여 명시적 경계를 생성하였다. 재생 커널 기법에 기초하여 얻어진 전역 절점 기저함수를 사용하여 연속체 지배방정식의 변위장을 이산화하였다. 따라서 질점들을 연속체 영역의 어느 곳이든 위치시킬 수 있으며, 이는 통해 명시적 경계를 생성하는 것이 가능하며, 결과적으로 정확한 설계를 얻을 수 있다. 개발된 방법은 제한 조건이 있는 최적설계 문제에 대하여 라그랑지안 범함수를 정의한다. 이는 경계의 변화를 통하여 허용 부피 제한조건을 만족시키면서 컴플라이언스를 최소화한다. 최적설계 과정 동안 라그랑지안 범함수의 최적화조건을 만족시킴으로써 해밀턴-자코비 방정식을 풀기 위한 속도장을 얻는다. 기존의 형상 최적설계 기법에 비하여, 본 방법론은 위상과 형상의 변화를 쉽게 얻어낼 수 있다.

본 논문에서는 밀도법 기반 위상 최적설계를 통해 얻어진 수치 결과를 바탕으로 CAD 모델을 구성하고 이를 3차원 프린터로 제작하여 실험적으로 최적설계를 검증하였다. 위상 최적설계 과정에서는 체커보드(Checkerboard) 현상이나 잔가지가 종종 나타나는데, 이는 최적설계 구조물을 실제로 제작함에 있어서 어려움을 준다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 민감도 필터링과 모폴로지 기법을 사용하였다. 엄밀한 검증을 위하여 수치 모델과 실험 모델의 부피율을 일치시켰다. 위상 최적설계를 포함한 다양한 설계에 대하여 실험을 통해 비교하여 최적설계 구조물이 가장 높은 강성을 가지고 있음을 확인하였으며 컴플라이언스에 대한 실험결과는 수치해석 값과 잘 일치함을 확인하였다.

레벨셋방법과 헤비사이드 강화를 이용한 아이소-지오메트릭 위상최적설계 방법을 개발하였다. 레벨셋 방법에서는 초기 해석영역은 고정되어 있으며 경계는 레벨셋 함수값을 이용한 암시적인 동적 경계로 표현되며, 이는 복잡한 위상적 변화를 용이하게 표현할 수 있게 한다. 헤비사이드 강화는 기존의 기저함수에 내부 경계를 표현하는 강화 함수를 더함으로써 아이소-지오메트릭 해석법의 정밀도를 향상시킨다. 제안된 위상 최적설계 방법은 다음과 같은 이점을 갖는다. 아이소-지오메트릭 해석법을 이용하여 정밀한 기하 형상을 얻을 수 있으며 텐서 곱을 이용하여 정의된 패치의 한계를 헤비사이드 강화를 이용함으로써 해결할 수 있다. 단일 패치를 사용함으로써 연속적인 응력 분포를 얻어낼 수 있을 뿐 아니라 불연속적인 변위장 또한 표현해 낼 수 있다. 레벨셋 방법론이 암시적 동적 경계를 잘 표현하기 때문에 이를 이용하여 헤비사이드 강화를 이용한 아이소-지오메트릭 해석법에서 위상의 변화를 잘 표현해 낼 수 있다.

A level set based topological shape optimization method for nonlinear structure considering hyper-elastic problems is developed. To relieve significant convergence difficulty in topology optimization of nonlinear structure due to inaccurate tangent stiffness which comes from material penalization of whole domain, explicit boundary for exact tangent stiffness is used by taking advantage of level set function for arbitrary boundary shape. For given arbitrary boundary which is represented by level set function, a Delaunay triangulation scheme is used for current structure discretization instead of using implicit fixed grid. The required velocity field in the actual domain to update the level set equation is determined from the descent direction of Lagrangian derived from optimality conditions. The velocity field outside the actual domain is determined through a velocity extension scheme based on the method suggested by Adalsteinsson and Sethian(1999). The topological derivatives are incorporated into the level set based framework to enable to create holes whenever and wherever necessary during the optimization.

A topology optimization method for phononic crystals is developed for the design of sound barriers, using the level set approach. Given a frequency and an incident wave to the phononic crystals, an optimal shape of periodic inclusions is found by minimizing the norm of transmittance. In a sound field including scattering bodies, an acoustic wave can be refracted on the obstacle boundaries, which enables to control acoustic performance by taking the shape of inclusions as the design variables. In this research, we consider a layered structure which is composed of inclusions arranged periodically in horizontal direction while finite inclusions are distributed in vertical direction. Due to the periodicity of inclusions, a unit cell can be considered to analyze the wave propagation together with proper boundary conditions which are imposed on the left and right edges of the unit cell using the Bloch theorem. The boundary conditions for the lower and the upper boundaries of unit cell are described by impedance matrices, which represent the transmission of waves between the layered structure and the semi-infinite external media. A level set method is employed to describe the topology and the shape of inclusions. In the level set method, the initial domain is kept fixed and its boundary is represented by an implicit moving boundary embedded in the level set function, which facilitates to handle complicated topological shape changes. Through several numerical examples, the applicability of the proposed method is demonstrated.

위상 최적화 기술은 제품의 초기단계의 개념설계에 유용한 기술이며, 주로 구조물의 탄성을 고려한 분야를 중심으로 개발되었다. 그러나 일반적인 기계의 정밀도가 향상됨에 따라 열적인 영향을 함께 고려할 경우가 많아지게 되어, 열과 탄성계를 동시에 고려하는 위상 최적설계가 필요하다. 본 연구에서 균질화법을 이용하여 열-탄성계를 고려한 위상 최적설계를 해석하였다. 열-탄성 문제에서는 열전달 해석과 구조해석을 고려하는 문제이므로 열전달 재료 물성치와 구조 재료 물성치를 함께 사용하였다. 가동에너지를 기계적인 변위 또는 응력으로 변환하는 트랜스듀서인 액츄에이터의 설계에 적용하였으며, 열계와 탄성계 그리고 열-탄성계를 동시에 해석한 설계 결과를 얻었다. 얻어진 각각의 결과를 동일한 하중조건으로 재해석한 결과, 열-탄성계를 고려하였을 경우가 각각의 계를 고려했을 경우보다 개선된 성능을 가진다.

이산화 된 구조물의 위상최적화 과정은 균일하게 분포된 재료 밀도의 위상으로 표현되는 초기 설계영역을 시발점으로 한다. 최적화 과정 동안 구조물의 위상은 고정된 설계영역 내에 주어진 최적화 문제를 만족시키는 방향으로 변화하면서, 최종적으로 최적 위상의 재료 밀도 분포를 생산한다. Eschenauer et al.에 의해 제안되었던 설계영역 안에 구멍을 도입하는 개념은 원래 경계면의 최적화 문제에 대해 설계변수의 유한적인 변화를 촉진시켜 최적화의 수렴성 개선을 도모하기 위함이었으나, 위상최적화의 관점에서는 초기 위상의 정의에 따라 다양한 최적 위상이 생산되는 것을 의미한다. 본 연구에서는 초기 설계영역 안에 국소적인 솔리드 상을 도입해 초기 위상에 변화를 주었을 때, 한정된 재료 하에 구조물에 배치 가능한 다양한 최적 위상을 산출할 수 있음을 검증하였다. 수치 예제로서 초기 설계영역 내에 다양한 치수를 가지는 국부적인 원형 솔리드의 고정된 개수를 투입하여 간단한 MBB-보의 위상최적 설계를 수행하였다.

본 연구에서는 위상최적화 알고리즘의 수렴성을 개선하기 위해 설계영역에 초기 구멍을 도입하는 방법을 제시하는데, 이것은 경계면에 기초한 최적화 방법의 느린 수렴성을 완화하기 위해, Eschenauer et al.에 의해 고안된 버블 방법의 설계영역 안에 구멍을 도입하는 개념과 연계된다. 버블 방법과 달리, 제안된 방법에서는 최적화 과정동안 구멍의 위치를 정의하는 특성함수를 이용하지 않고, 최적화 초기화 단계에서만 초기 구멍을 도입하는데, 이러한 초기 설계영역 안의 솔리드와 보이드 영역들은 고정되는 것이 아니라 합쳐지거나 쪼개지면서 변화된다. 따라서 위상최적화 알고리즘에서 구멍의 이동에 관련된 복잡한 수치적인 계산 없이 자동적으로 설계변수의 유한변화를 더욱 강화시키기 때문에 목적함수 값의 수렴성을 개선할 수 있다. 본 논문에서는 다양한 치수와 형상의 구멍을 포함하는 초기 설계영역을 가지는 Michell형 보의 위상 최적설계를 밀도분포법으로 불리는 SIMP를 이용하여 수행하였다. 이를 통해 위상최적화의 수렴성을 개선하고 최적위상과 형상에 영향을 미치는 초기 구멍의 효과를 검증하였다.

위상 최적화 문제는 다양한 밀도 분포를 가지는 설계영역에서 목적함수와 요소단위의 설계 민감도의 반복적인 계산을 요구한다. 최근 제안된 2단계 축소기법은 축소 시스템을 구축하는데 매우 효과적이며 고유치 문제와 동적 문제의 해석에 정확도와 효율성을 동시에 제공한다. 본 논문에서는 구조 위상 최적화 문제에서 해석 부분과 민감도 계산 부분에 2단계 동적 축소기법을 사용한다. 축소시스템에 대한 위상 최적화 결과는 축소되지 않은 전체 시스템에 대한 최적화 결과와 비교하여도 공학적으로 요구되는 정확도 범위 내에서 2단계 축소기법이 높은 정확도와 계산 효율을 보장하는 것을 보여준다.

위상최적설계는 개념설계에 적합하며, 제품의 설계에서 사용되어지고 있다. 전통적인 위상최적화는 균질화법과 최적조건법을 사용해 왔다. 균질화법은 구멍으로 구성된 구조물과 강성행렬사이의 관계를 연결해주는데 사용되며, 최적조건법은 부피분율을 유지하며 설계변수의 개선에 사용되어진다. 전통적인 위상최적설계는 수렴성이 좋은 장점은 있지만 수렴시간이 많이 걸린다는 단점이 있었다. 이 문제를 해결하는 하나의 방법으로 평균 응력량을 기준으로 요소를 제거하는 요소제거법을 제시하였다. 예제에서 수렴속도가 향상됨을 알 수 있었다.

The objective of this study is the development of size, shape and topology discrete optimum design algorithm which is based on the genetic algorithms. The algorithm can perform both shape and topology optimum designs of trusses. The developed algorithm was implemented in a computer program. For the optimum design, the objective function is the weight of trusses and the constraints are stress and displacement. The basic search method for the optimum design is the genetic algorithms. The algorithm is known to be very efficient for the discrete optimization. The genetic algorithm consists of genetic process and evolutionary process. The genetic process selects the next design points based on the survivability of the current design points. The evolutionary process evaluates the survivability of the design points selected from the genetic process. The efficiency and validity of the developed size, shape and topology discrete optimum design algorithms were verified by applying the algorithm to optimum design examples

본 연구에서는 구조물의 변위 제약조건을 고려한 위상 최적설계를 체스판무늬 검색 알고리즘과 가상하중을 이용하여 수행하였다. 본 연구에서는 변위 제약조건의 민감도 계산을 위하여 가상 변위장을 도입하였으며, 밀도와 유효강성계수의 상관관계를 정의하기 위하여 가상재료를 도입하였다. 또한, 선형 유한요소를 이용한 위상 최적화 기법에서 일반적으로 나타나는 체스판무늬를 제거하기 위하여 밀도 재분배방법을 이용하였다. 그리고, 변위 제약조건을 고려한 경우와 그렇지 않은 경우의 수치예제를 비교 검토함으로써 본 연구의 타당성을 검증하였다.